From d6bfa041744eb1ee80ee48d83962f39dae9df9bb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Mirko Birbaumer <mirko.birbaumer@hslu.ch>
Date: Tue, 11 Mar 2025 12:51:35 +0000
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+    "Oft möchten wir eine Null-Hypothese $H_0$ (oder _Null-Modell_) mit einer Alternativ-Hypothese $H_1$ vergleichen. Im Beispiel des Altersunterschieds zwischen Ehemännern und Ehefrauen wollen wir die Nullhypothese $\\mu_0=0$ (kein Unterschied in Bezug auf Alter zwischen Ehemännern und Ehefrauen) mit der Alternativhypothese $\\mu\\neq 0$ vergleichen. In diesem Fall ist die Nullhypothese $\\mu_0=0$ in die Alternativhypothese ($\\mu\\neq 0$) eingebettet. D.h. der Nullwert ($\\mu_0=0$) ist ein Spezialfall des Modells der Alternativhypothese, das wir eruieren möchten. \n",
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+    "In diesem Fall können wir den sogenannten \\emph{Bayes-Faktor} sehr einfach berechnen - wir besprechen den Bayes-Faktor später. Der Bayes-Faktor hat in diesem Fall eine intuitive Form: Wir vergleichen den Wert der Prior-Verteilung mit der Posterior-Verteilung an der Stelle des Nullwertes $\\mu_0$ unter der Alternativhypothese:\n",
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+    "\\begin{equation*}\n",
+    "\\text{BF}_{01}=\\frac{p(x\\mid H_0)}{p(x\\mid H_1)}= \\frac{p(\\mu=\\mu_0 \\mid x, H_1)}{p(\\mu=\\mu_0\\mid H_1)}\\equiv\\frac{\\text{Wert der Posterior-Dichte am Nullwert}}{\\text{Wert der Prior-Dichte am Nullwert}}\n",
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+    "Diese Beziehung für den Bayes-Faktor gilt nur, wenn $H_0$ ein Spezialfall von $H_1$ ist. "
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